对勾函数的性质
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，也被称为“双勾函数”或“耐克函数”，其图像形状特殊，常用于数理化等领域的应用中。本文从对勾函数的定义、图像、性质、奇偶性、单调性等多个方面进行了详细介绍，对读者深入了解对勾函数有很大的帮助。感到兴趣的小伙伴，千万不要错过哦！一起和神奇下载网小编了看一下吧
对勾函数的性质 深入理解对勾函数：从定义到性质
对勾函数是一种类似于反比例函数模余枝的一般函数,又被称为“双勾函毁或数”、"勾函数"等也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”
所谓的对勾函数（双曲线函数）,是形如f(x)=ax+b/x（a 0)的函数由图像得名
图像
对勾函数：图像,性质,单调性
第三行为f（x）=-（ax+b/y）大于等于2√ab
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数,见图示,在作图时最好画出渐近线,y=ax
奇偶性单调性
当x 0时,f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便,规定a 0,b 0）,也就是当x=sqrt(b/a）时（sqrt表示求二次方根）
奇函数
令k=sqrt(b/a）,那么：
增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；旦敏
减区间：{x|-k≤x
在纵坐标的两侧,分别用均值不等式（(a+b)/2≥sqrt(ab)）所谓的对勾函数,是形如f(x)=ax+b/x的函数一般的函数图像形似两个中心对称弊谨芹的对勾,故名当x 0时,f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便,规定a 0,b 0）,也就是当x=sqrt(b/a)的晌迹时候（sqrt表租毕示求二次方根）同时它是奇函数,就可以推导出x
对勾函数，是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如f(x)=ax+b/x的函数，是一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，所以更加要注意和学习。一般的函数图像形似两个中心对称的简颤闹对勾，故名。当x 0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a 0，b 0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，就可以推导出x 0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x 0}∪{x|0 x≤k}。由单调区间可拦罩见，它的变化趋势是：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。洞丛
对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它是不是双曲线还众说不一。
y=ax+b/x （ab≠0)
首先这样的函数是奇函数
所以只研拆唯究x 0的情况，对x 0，由奇函数性质可得出
a 0,b 0
函数在（0，√b/a]单减，在[√b/a,＋∞)单增
在x=√b/a取得最小值2√ab
a 0,b 0
y=ax+b/x=-(-ax-a/x)
函数在（0，√b/a]单增，在[√b/a,＋∞)单减
在x=√b/a取得最大值-2√ab
a 0,b 0
ax与b/x在(0,＋∞)上都单增，所以y=ax+b/x 在(0,＋∞)上单增
a 0,b 0
y=ax+b/x 在(0,＋∞旅物培)上单蚂芦减
对于y=519-4x+130/x
在（-∞，0）单减，在（0，＋∞)上单减
无最值
在纵坐标的两侧，分别用均值不等式（(a+b)/2≥sqrt(ab)）。所谓的对勾函数宽岁，是形如f(x)=ax+b/x的函数。一般的函数图像形似两个握迟中心对称的对勾，故名。当x 0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a 0，b 0），也就是当x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）。同时它是奇函数，慎皮睁就可以推导出x 0时的性质。令k=sqrt(b/a)，那么，增区间：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x 0}和{x|0 x≤k}。由单调区间可见，它的变化趋势是：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。
1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下段胡明表：
解析式
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
顶点坐标
(0，0)
(h，0)
(h，k)
（-b/2a
，(4ac-b²)/4a）
对
称
轴
x=0
x=h
x=h
x=
-b/2a
当h 0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，
当h 0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h 0,k 0时，将抛物线y=ax2向右平行移动做含h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到
y=a(x-h)2+k的图象；
当h 0,k 0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h 0,k 0时，将抛物线向左平行移握告动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h 0,k 0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
因此，研究抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，
可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a 0时，开口向上，当a 0时开口向下，
对称轴是直线x=－
b/2a，顶点坐标是（-b/2a
，(4ac-b²)/4a）．
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a 0，当x≤－
b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥－
b/2a时，y随x的增大而增大．
若a 0，当x≤－
b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥－
b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b2-4ac 0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△ 0．图象与x轴没有交点．当a 0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y 0；当a 0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y 0．
5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a 0(a 0)，则当x=－b/2a
，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．
望对你有用！·
在纵坐标的两侧,分别用均值不等式（(a+b)/2≥sqrt(ab)）所谓的对勾函数,是形如f(x)=ax+b/x的函数一般的函数图像形似两个中心对称弊谨芹的对勾,故名当x 0时,f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便,规定a 0,b 0）,也就是当x=sqrt(b/a)的晌迹时候（sqrt表租毕示求二次方根）同时它是奇函数,就可以推导出x
定义对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数”
所谓的仔唤对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。图像对勾函数：图像，性质，单调性
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。奇偶性与单调性当x 0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a 0，b 0），也就是当x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）
奇函数。
令k=sqrt(b/a），那么：
增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；
减区间：{x|-k≤x 0}和{x|0 x≤k} 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。渐近线对号函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。
编辑本段均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。现在把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有清悉个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。
编辑本段导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。
上述研究都是建立在x 0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是双曲线，这个利用二阶矩阵的变幻也是可以得到的。
另外对于二次曲线，他只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两条直线。
由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。
编辑本段其它解法面对这个函数 f(x)=ax+b/x,我们应该想得更多，需要我们深入探究：⑴它的单调性与奇偶性有何应用？而值域问题恰好与单调性密切相关，所以命题者首先想到的问题应该与值域有关；⑵函数与方程之间有密切的联系，所以命题者自然也会想到函数与方程思想的运用；⑶众所周知，双曲线中存在很多定值问题，所以很容易就想到定值的存在性问题。因此就由特殊引出了一般结论；继续拓展下去，用所猜想、探索的结果来解决较为复杂的函数最值问题。
编辑本段高考例题2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果常数a 0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞）上是增函数．
⑴如果函数 y=x+（2^b)/x （x 0）的值域为 [6,+∞），求b 的值；
⑵研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c 0）在定义域内的单调性，并说明理由；
⑶对函数y =x+a/x 和y =x^2+a/x^2（常数a 0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F(x) =(x^2+1/x)^n+（1/x^2+x)^n（x 是正整数）在区间[½,2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）
当x 0时，f(x)=ax+b/x有念正凯最小值；当x 0时，f(x)=ax+b/x有最大值
f(x)=x+1/x
首先你要知道他的定义域是x不等于0
当x 0,
由均值不等式有：
f(x)=x+1/x =2根号（x1/x)=2
当x=1/x取等
x=1，有最小值是：2，没有最大值。
当x 0,-x 0
f(x)=-(-x-1/x)
=-2
当－x=-1/x取等。
x=-1，有最大值，没有最小值。
值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷）
－－－－－－－－－－－－－－
证明函数f(x)=ax+b/x,(a 0,b 0）在x 0上的单调性 设x1 x2且x1，x2∈（0，+∝） 则f(x1）-f(x2）=(ax1+b/x1） -（ax2+b/x2） =a（x1-x2）-b（x1-x2）/x1x2 =（x1-x2）（ax1x2-b）/x1x2 因为x1 x2，则x1-x2 0 当x∈（0，√（b/a））时，x1x2 b/a 则ax1x2-b b-b=0 所以f(x1）-f(x2） 0，即x∈（0，√（b/a））时，f(x)=ax+b/x单调递减； 当x∈（√（b/a），+∞）时，x1x2 b/a 则ax1x2-b b-b=0 所以f(x1）-f(x2） 0，即x∈（√（b/a），+∞）时，f(x)=ax+b/x单调递增。
编辑本段重点（窍门）其实对勾函数的一般形式是：
f(x)=x+a/x(a 0)
定义域为（-∞，0）∪（0,+∞）
值域为（-∞，-2根号a]∪[2根号a,+∞）
当x 0，有x=根号a，有最小值是2根号a
当x 0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a
对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a 0），它的单调性讨论如下：
设x1 x2，则f(x1）-f(x2）=x1+a/x1-(x2+a/x2）=(x1-x2）+a(x2-x1）/(x1x2）=(x1-x2）（x1x2-a)/(x1x2）
下面分情况讨论
⑴当x1 x2 -根号a时，x1-x2 0,x1x2-a 0,x1x2 0，所以f(x1）-f(x2） 0，即f(x1） f(x2），所以函数在（-∞，-根号a）上是增函数
⑵当-根号a x1 x2 0时，x1-x2 0,x1x2-a 0,x1x2 0，所以f(x1）-f(x2） 0，即f(x1） f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数
⑶当0 x1 x2 ；根号a时，x1-x2 0,x1x2-a 0,x1x2 0，所以f(x1）-f(x2） 0，即f(x1） f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数
⑷当根号a x1 x2时，x1-x2 0,x1x2-a 0,x1x2 0，所以f(x1）-f(x2） 0，即f(x1） f(x2），所以函数在（根号a，+∞）上是增函数
解题时常利用此函数的单调性求最大值与最小值
本文从多个角度对对勾函数进行了介绍，包括函数定义、数学性质、图像特征等方面，旨在让读者更好地理解和应用对勾函数。同时本文提供了对勾函数奇偶性和单调性的详细解释，帮助读者更好地掌握对勾函数的特性和规律。以上的内容即是对于对勾函数的性质资讯全部了，希望能帮助到小伙伴！更多精彩主题，尽在神奇下载网!，您的支持让我们有信心和动力！
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