二阶导数怎么判断凹凸性
本文讨论了二阶导数如何用来判断函数的凹凸性，以及凹凸性的定义，拐点的概念和求解方法。通过以上例子展示了如何利用二阶导数求解函数的凸凹区间和拐点。本文为初学者提供了一个简单易懂的数学知识点。喜欢的朋友们一定不要错过哦，继续和神奇下载网小编了往下看吧。希望能对大家有所帮助！
二阶导数怎么判断凹凸性 如何用二阶导数判断函数凹凸性及拐点的求解方法
讨论二阶导数的正负，若在某区码老间为正则为凹区间，若在某区间为负则为凸区间。
一般地，把满足[f(x1)+f(x2)]/2 f[(x1+x2)/2]的区间称为函数f(x)的凹区间；反之为凸区间；凹凸性改变的点叫做拐点。
通常凹凸性由二阶导数确定：满足f''(x) 0的区间为f(x)的凹区间，反之为凸区如伍间；
例：求y=x^3-x^4的凸凹区间和拐点。
解：y'=3x2-4x3，渣模或y''=6x-12x2；
y'' 0，得：0 x 1/2；
所以，凹区间为(0,1/2)；凸区间为(-∞,0)，(1/2,+∞)；拐点为(0,0)，(1/2,1/16)；
:
函数的定义：
给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
函数最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
二阶导数
的作用是根据其
正负
，判断一阶导数的单调性（二阶导数大于零，那么一阶导数单调递增；二阶导数小于零，那么一阶导数单调递减），然后根据一阶导数的单调性以及一阶导数的某些值，判断其是否有零点（比如说一阶导数在x=0处的值是正的，而x 0时，一阶导数都是单调递增的，那么x 0时，一阶导数肯定没有零点），借此判断原函数的极值。二阶导数取值如果有大于改携零，又有小于零的部分，那么在这
之间
必然存在某个点，二阶导数等于零，例如当x 0时，二阶导数大于零，x 0时，二阶弯歼棚导数小于零，那么当x=0时，二阶导数必然等于零。也就是说这一点的一阶导数取到
极值
，由举例的二阶导数的正负还能判断出这个极值是
极大值
。之后就是借以判断一阶导数的图像特点（也就是单调性，极值，零点之类埋则的），然后再判断
原函数
的图像特点，得出
函数
凹凸性。
函数凹凸性与二次导数有关
如果函数某点的一阶导数等于零
该点的二阶导数若大于0,则函数在该点是极小值,函数在该点附近是下凹的返兄
若该点的二阶导数若小于0,则函数在该点是极大值,函数在该点附近是上凸的
若等于0,则该点为拐点
若函数的二阶导数恒大于0,函数是下凹的
若函数的二阶导数恒小于0,则函数上凸的
从函数的几何意义来分析：
因为随着凹凸变化，曲线的切线斜率会出现相应的改变。
1在凹最低处或凸最高处，切线斜率为0，即一阶导数为0
2在凹图象最低处左右，一阶桥键导数从最低处左方的 0趋于右方的 0,这一过程二阶导数 0
在凸图象最漏消袭高处左右，一阶导数从最高处左方的 0趋于右方的 0,这一过程二阶导数 0
因此根据二阶导数可以判断函数的凹凸性质
1、定义为：
设函数f(x)在区间I上有定义，若对I中的任意两点x₁和x₂,和任意λ∈(0,1)，都有：
f(λx₁+(1-λ)x₂) =λf(x₁)+(1-λ)f(x₂)，
则称f为I上的凸函数，若不等号严格成立，即“ ”号成立，则称f(x)在I上是严格凸函数。
同理，如果" =“换成“ =”就是凹函数。类似也有严格凹函数。
2、从几何上看就是：
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条轮尺件是f''(x) =0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x) =0。
扩展资料：
不同说法：
不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。
另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：
1、f(λx1+(1-λ)x2) =λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”；
2、f(λx1+(1-λ)x2) =λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”；
凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义。
在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。
但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式，当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图兄握形上直观理解还是从表达式羡桐庆上理解，都是描述的同一个客观事实。
而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。
参考资料来源：百度百科-函数的凹凸性
函数凹凸性的判断方法是：看导数，代数上，函数一阶导数为负，二阶导数为正（或者一阶正，二阶负），便是凸的，一阶与二阶同号为凹。函数在凹凸性发生改变的点称为拐点，拐点的二阶导数为0或不存在二阶导数。
1、凹函数定义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凹的，函数y =f (x ) 为凹函数。
2、凸函数定笑陆义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凸的，函数y =f (x ) 为凸函数。
凹函数的性质：
如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在）。
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。
如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。碰盯顷如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极则滑大值。
本文详细探讨了二阶导数判断函数凹凸性的方法，强调了凹凸性的定义及拐点的概念。例子的求解过程清晰明了，适合初学者学习。此外，文章还讲解了函数的定义，为读者提供了一个关于函数的概念基础。以上内容就是关于二阶导数怎么判断凹凸性全部内容了，希望能帮助到朋友们！更多精彩信息，记得收藏我们神奇下载网，您的支持是我们不断进步的动力！
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